Как посчитать интерполяцию

Задача интерполяции является частным случаем задачи аппроксимации функции f(x) функцией g(x). Вопрос состоит в построении для заданной функции y=f(x) такой функции g(x), что приблизительно f(x)=g(x).

Представьте себе, что функция y=f(x) на отрезке [a,b] задана таблично (см. рис. 1). Данные таблицы чаще всего содержат опытные данные. Аргумент записывается в порядке возрастания (см. рис. 1). Здесь числа xi (i=1,2,…,n) называют точками согласования f(x) с g(x) или просто узлами.

Функция g(x) называется интерполирующей для f(x), а сама f(x) интерполируемой, если ее значения в узлах интерполяции xi (i=1,2,…,n) совпадают с заданными значениями функции f(x), то есть выполняются равенства:g(x1)=y1, g(x2)=y2,…, g(xn)=yn.(1)Итак, определяющее свойство – совпадение f(x) и g(x) в узлах (см. рис. 2).

В прочих точках может происходить что угодно. Так, если интерполирующая функция содержит синусоиды (косинусоиды), то отклонение от f(х) может быть весьма существенным, что маловероятно. Поэтому используются параболические (точнее, полиномиальные) интерполяции.

Для функции, заданной таблицей, осталось найти многочлен наименьшей степени Р(х) такой, чтобы выполнялись условия интерполяции (1): P(xi)=yi, i=1,2,…,n. Можно доказать, что степень такого многочлена не превышает (n-1).Для того чтобы избежать путаницы,далее задачу будем решать на конкретном примере четырехточечной задачи.

Пусть узловые точки: x1=-1, x2=1, x3=3, x4=5. y1=y(-1)=1, y2=y(1)=-5, y3=y(3)=29, y4=y(5)=245.В связи с изложенным выше, искомую интерполяцию следует искать в виде P3(x). Запишите искомый многочлен в видеP3(3)=ax^3+bx^2+cx+d и составьте систему уравнений (в числовой форме)a(xi)^3+b(xi)^2+c(xi)+d=yi(i=1, 2, 3, 4) относительно a, b, c, d (см. рис. 3).

Получилась система линейных уравнений. Решите ее любым известным вам способом (проще всего методом Гаусса).В данном примере ответ: a=3, b=-4, c=-6, d=2.Ответ. Интерполирующая функция (многочлен) g(x)=3x^3-4x^2-6x+2.